群及置换群

感谢这篇博客，我在这里只是稍微搬运防止他失效了

群的定义

设$G$为一个包含若干元素的集合，并且称其中的元素为“元”，规定$\times$为针对这个集合中元的运算，当$(G, \times )$满足以下要求的时候，我们称$(G, \times )$为群

• 1.封闭性：$G$内任意两个元素的 $\times$ 运算结果仍然在$G$内
• 2.结合律：$(a \times b) \times c = a \times ( b \times c )$
• 3.单位元：对于任何$a \times e = a$
• 4.逆元： $a \times a^{-1} = e$

例如：

设

$$G = \{ 0,1,2,3,...,n-1 \} , a \times b = (a+b) \% n$$

那么封闭性和结合律显然符合要求，而单位元为$0$，$a(a \neq 0)$的逆元为$n-a$，$0$的逆元为$0$，那么我们称$(G, \times )$为群

有限群的阶 $|G|$ ： $G$中元素的数量

置换的定义

有点像游戏里面各种属性的克制？或者是类似于金木水火土？

置换$\pi$表示$G$中每个元素在一次变换之后的下一个状态，置换的运算符号记为“$\cdot$”

表示方法一:矩阵

$$\pi = \begin{Bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & ... & x_n \\ y_1 & y_2 & y_3 & ... & y_n \\ \end{Bmatrix}$$

表示$x_1$的下一个状态为$y_1$，$x_2$的下一个状态为$y_2$，$x_3$的下一个状态为$y_3$……

表示方法二:循环节

假设有置换：

$$\pi = \begin{Bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ \end{Bmatrix}$$

那么可以用$(1,2,3)$来表示，而

$$\pi = \begin{Bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 1 & 3 & 6 \\ \end{Bmatrix}$$

可以唯一表示为$\pi=(1,2,4)(3,5)(6)$

置换群

置换群不是某种带有置换属性的群，而是群的元素为置换

设$G$为有限集$X$上的置换的集合，若$G$满足群的定义，则$( G , \times )$被称为一个置换群

置换群下的一些定义

一：等价

若元素$a$在某置换$\pi$的作用下变成了$b$，则称$a$与$b$等价，记为$a$ ~ $b$

二：等价类/轨迹

$G$的一个元素在置换的作用下会变成下一个元素，下一个元素也会变成“下下个”元素，以此类推一直置换下去就会形成一条路径，我们形象的称之为$G$的轨迹，轨迹上的元素称为一个等价类。显然两条轨迹不会相交。

不动置换类（置换的类）

对于某个元素$a$，所有满足$a \rightarrow a$的置换的集合称为$a$的不懂置换类，记为$Z_a$

不动点集（元素的类）

对于某个置换$\pi$，所有满足在这个置换下不变的元素的集合，称为$\pi$的不懂点集，记作$C(\pi)$

若$\pi = (123)(3)(45)(6)(7) \; , \; X = \{ 1,2,3,4,5,6,7 \}$则$C(\pi)=\{3,6,7\}$三个元素