感谢这篇博客,我在这里只是稍微搬运防止他失效了
群的定义
设$G$为一个包含若干元素的集合,并且称其中的元素为“元”,规定$\times$为针对这个集合中元的运算,当$(G, \times )$满足以下要求的时候,我们称$(G, \times )$为群
- 1.封闭性:$G$内任意两个元素的 $\times$ 运算结果仍然在$G$内
- 2.结合律:$(a \times b) \times c = a \times ( b \times c )$
- 3.单位元:对于任何$a \times e = a$
- 4.逆元: $a \times a^{-1} = e$
例如:
设
那么封闭性和结合律显然符合要求,而单位元为$0$,$a(a \neq 0)$的逆元为$n-a$,$0$的逆元为$0$,那么我们称$(G, \times )$为群
有限群的阶 $|G|$ : $G$中元素的数量
置换的定义
有点像游戏里面各种属性的克制?或者是类似于金木水火土?
置换$\pi$表示$G$中每个元素在一次变换之后的下一个状态,置换的运算符号记为“$\cdot$”
表示方法一:矩阵
表示$x_1$的下一个状态为$y_1$,$x_2$的下一个状态为$y_2$,$x_3$的下一个状态为$y_3$……
表示方法二:循环节
假设有置换:
那么可以用$(1,2,3)$来表示,而
可以唯一表示为$\pi=(1,2,4)(3,5)(6)$
置换群
置换群不是某种带有置换属性的群,而是群的元素为置换
设$G$为有限集$X$上的置换的集合,若$G$满足群的定义,则$( G , \times )$被称为一个置换群
置换群下的一些定义
一:等价
若元素$a$在某置换$\pi$的作用下变成了$b$,则称$a$与$b$等价,记为$a$ ~ $b$
二:等价类/轨迹
$G$的一个元素在置换的作用下会变成下一个元素,下一个元素也会变成“下下个”元素,以此类推一直置换下去就会形成一条路径,我们形象的称之为$G$的轨迹,轨迹上的元素称为一个等价类。显然两条轨迹不会相交。
不动置换类(置换的类)
对于某个元素$a$,所有满足$a \rightarrow a$的置换的集合称为$a$的不懂置换类,记为$Z_a$
不动点集(元素的类)
对于某个置换$\pi$,所有满足在这个置换下不变的元素的集合,称为$\pi$的不懂点集,记作$C(\pi)$
若$\pi = (123)(3)(45)(6)(7) \; , \; X = \{ 1,2,3,4,5,6,7 \}$则$C(\pi)=\{3,6,7\}$三个元素